Probabilités L2 Éco-Gestion
Les Probabilités L2 formalisent l'incertitude avec rigueur : variables aléatoires, lois usuelles, espérance et variance, puis les théorèmes limites (loi des grands nombres, théorème central limite) qui fondent toute la statistique inférentielle. Matière technique qui récompense la pratique d'exercices.
Programme
- Espaces probabilisés — événements, probabilité conditionnelle, indépendance
- Formule de Bayes et probabilités totales
- Variables aléatoires discrètes — loi, espérance, variance
- Lois discrètes usuelles — Bernoulli, binomiale, Poisson, géométrique
- Variables aléatoires continues — densité, fonction de répartition
- Lois continues usuelles — uniforme, exponentielle, normale
- Couples de variables aléatoires — covariance, indépendance
- Loi des grands nombres et théorème central limite
Concepts clés à maîtriser
L'espérance E(X) est la moyenne pondérée des valeurs d'une variable aléatoire (sa « valeur attendue »). La variance V(X) = E(X²) − [E(X)]² mesure la dispersion autour de l'espérance ; sa racine est l'écart-type.
La somme (ou la moyenne) d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes et de même loi tend vers une loi normale, quelle que soit la loi de départ. C'est le fondement des intervalles de confiance et des tests statistiques.
Loi discrète modélisant le nombre d'événements rares dans un intervalle fixe (appels, pannes). P(X=k) = e⁻λ λᵏ/k!. Son espérance et sa variance valent toutes deux λ. Elle approxime la binomiale quand n est grand et p petit.
Questions fréquentes au partiel
Quand utiliser la loi binomiale plutôt que la loi de Poisson ?+
La loi binomiale modélise un nombre fixe n d'épreuves indépendantes à deux issues (succès/échec) avec probabilité p constante. La loi de Poisson modélise un nombre d'occurrences d'un événement rare sur une période, sans n fixé. Quand n est grand (>50) et p petit (np < 10), la Poisson approxime bien la binomiale (λ = np).
À quoi sert le théorème central limite ?+
Le TCL garantit que la moyenne d'un échantillon suit approximativement une loi normale dès que l'échantillon est assez grand (n ≥ 30), même si la population de départ ne l'est pas. C'est ce qui permet de construire des intervalles de confiance et de faire des tests d'hypothèse sur une moyenne.
Aller plus loin
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Méthode de révision
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